年金的现值和终值公式推导
来源：东奥会计在线
责编：刘佳慧
2024-11-08 17:42:02
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年金终值公式推导
年金终值是指在一定的时间周期内每年定期投资一定金额后，计算出该周期结束后的投资总额。
假设每年支付的金额为PMT，年利率为r，投资期限为n年。第一年结束时，将收到PMT元钱，将其投资，可以得到PMT×(1+r)元钱。第二年结束时，将再次收到PMT元钱，将其投资，可以得到PMT×(1+r)n元钱。
因此，年金终值FV为：
FV=PMT×(1+r)(n-1)+...+PMT×(1+r)
上述公式是一个等比数列的和，其首项为PMT，公比为(1+r)，项数为n。利用等比数列求和公式，可以将其化简为：
FV=PMT×(((1+r)^n)-1)÷r
年金现值公式推导
年金现值是指将未来一段时间内的一系列现金流折算成当前时点的价值。
年金现值公式可以由年金终值公式推导出来。假设现在的时点为0，未来的n个时点分别为1，2，...，n。年金终值FV是在n时点上的价值，而年金现值PV是在0时点上的价值。
根据复利公式，n时点上的1元钱在0时点上的价值为(1+r)^(-n)。因此，n时点上的PMT元钱在0时点上的价值为PMT×(1+r)^(-n)。同理，n-1时点上的PMT元钱在0时点上的价值为PMT×(1+r)^(-(n-1))，以此类推。
因此，年金现值PV为：
PV=PMT×(1+r)^(-n)+PMT×(1+r)^(-(n-1))+...+PMT×(1+r)^(-1)
上述公式同样是一个等比数列的和，其首项为PMT×(1+r)(-1)，项数为n。但注意到这里的等比数列是递减的，所以求和时需要稍作调整。将其化简后得到：
PV=PMT×((1-(1+r)^(-n))÷r)
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